Родился 25.03.1919 в селе Кривозорье ныне Пензенского района Пензенской области в семье крестьянина. Русский. Образование начальное.
20 ноября 1938 года поступил на работу во 2-ю городскую пожарную часть.
19 июня 1941 года был призван на действительную службу в ряды Красной Армии, а через три дня началась Велика Отечественная война.
На фронте с октября 1941. Разведчик 423-й отдельной разведроты (359-я стрелковая дивизия, 6-я армия, 1-й Украинский фронт) старший сержант Коротков в составе группы 19.03.1944 при выполнении боевого задания недалеко от г. Тернополь лично сразил около 10 гитлеровцев, бойцы захватили 3 пулемета и 3 миномета 10.05.1944 награжден орденом Славы 3 степени. 21.01.1945 помощник командира взвода той же роты Коротков с бойцами отбивал атаки противника в районе населенного пункта Скольнув (Польша). Из захваченного у врага пулемета истребил более 10 солдат и офицеров неприятеля, подавил огневую точку. 06.02.1945 награжден орденом Славы 2 степени. Командир взвода той же роты Коротков за период боев с 24.01. по 20.04.1945 взял в плен несколько вражеских солдат и офицеров, лично уничтожил около 20 гитлеровцев. 27.06.1945 награжден орденом Славы 1 степени.
В составе сводного полка 1-го Украинского фронт был участником парада Победы 1945 года в г. Москве.
В 1945 старшина Коротков демобилизован. Окончил с отличием школу начсостава пожарной охраны в Костроме и вернулся на службу в пожарную охрану г. Пензы. Награжден орденами Красного Знамени, Отечественной войны 1 ст., Красной Звезды, медалями.
В пожарной охране с ноября 1946 года по сентябрь 1979 года в должности начальника караула пожарной части №3. За период службы награжден 15 Почетным грамотами, имеет более 20 письменных благодарностей от руководства ОПО УВД Пензенского облисполкома и пожарной части. Общий стаж работы в пожарных подразделениях г. Пензы – более 35 лет.
С 1975 года - на пенсии. Жил в городе Пенза.
Умер 10 сентября 1982 года. Похоронен на Ново-Западном кладбище города Пенза.
Мемориальная доска А.И. Короткову открыта 6 мая 2015 года на здании ПЧ-3 в которой он служил после ВОВ.
Надпись на доске: "Участник Великой Отечественной войны, полный кавалер ордена Славы, ордена боевого Красного Знамени, двух орденов Красной Звезды Коротков Алексей Иванович, начальник караула ПЧ-3 с 1946 по 1979 гг."
